Усложненная арифметика. Научно-технический энциклопедический словарь Что такое арифметика, что означает и как правильно пишется

Арифметика (греч. arithmetika, от arithmys - число)

наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.

Владение достаточно развитым понятием натурального числа и умение производить действия с числами необходимы для практической и культурной деятельности человека. Поэтому А. является элементом дошкольного воспитания детей и обязательным предметом школьной программы.

С помощью натуральных чисел конструируются многие математические понятия (например, основное понятие математического анализа - действительное число). В связи с этим А. является одной из основных математических наук. Когда делается упор на логический анализ понятия числа (См. Число), то иногда употребляют термин теоретическая арифметика. А. тесно связана с алгеброй (См. Алгебра), в которой, в частности, изучаются действия над числами без учёта их индивидуальных свойств. Индивидуальные свойства целых чисел составляют предмет чисел теории (См. Чисел теория).

Историческая справка. Возникнув в глубокой древности из практических потребностей счёта и простейших измерений, А. развивалась в связи с усложнением хозяйственной деятельности и социальных отношений, денежными расчётами, задачами измерений расстояний, времени, площадей и требованиями, которые предъявляли к ней другие науки.

О возникновении счёта и о начальных стадиях образования арифметических понятий судят обычно по наблюдениям, относящимся к процессу счёта у первобытных народов, и, косвенным образом, путём изучения следов аналогичных стадий, сохранившихся в языках культурных народов и наблюдающихся при усвоении этих понятий детьми. Эти данные говорят о том, что развитие тех элементов мыслительной деятельности, которые лежат в основе процесса счёта, проходит ряд промежуточных этапов. К ним относятся: умение узнавать один и тот же предмет и различать предметы в подлежащей счёту совокупности предметов; умение устанавливать исчерпывающее разложение этой совокупности на элементы, отличимые друг от друга и вместе с тем равноправные при счёте (пользование именованной «единицей» счёта); умение устанавливать соответствие между элементами двух множеств, вначале непосредственно, а затем сопоставлением их с элементами раз навсегда упорядоченной совокупности объектов, т. е. совокупности объектов, расположенных в определённой последовательности. Элементами такой стандартной упорядоченной совокупности становятся слова (числительные), применяемые при счёте предметов любой качественной природы и отвечающие образованию отвлечённого понятия числа. При самых различных условиях можно наблюдать сходные особенности постепенного возникновения и усовершенствования перечисленных навыков и отвечающих им арифметических понятий.

Сначала счёт оказывается возможным лишь для совокупностей из сравнительно небольшого числа предметов, за пределами которого количественные различия осознаются смутно и характеризуются словами, являющимися синонимами слова «много»; при этом орудием счёта служат зарубки на дереве («бирочный» счёт), счётные камешки, чётки, пальцы рук и т.п., а также множества, заключающие постоянное число элементов, например: «глаза» - как синоним числительного «два», кисть руки («пясть») - как синоним и фактическая основа числительного «пять», и т.п.

Словесный порядковый счёт (раз, два, три и т.д.), прямую зависимость которого от пальцевого счёта (последовательное произнесение названий пальцев, частей рук) в некоторых случаях можно проследить непосредственно, связывается в дальнейшем со счётом групп, содержащих определённое число предметов. Это число образует основание соответствующей системы счисления, обычно, в результате счёта по пальцам двух рук, равное 10. Встречаются, однако, и группировки по 5, по 20 (французское 80 «quatre-vingt» = 4 × 20), по 40, по 12 («дюжина»), по 60 и даже по 11 (Новая Зеландия). В эпоху развитых торговых сношений способы нумерации (как устной, так и письменной) естественно обнаруживали тенденцию к единообразию у общавшихся между собой племён и народностей; это обстоятельство сыграло решающую роль в установлении и распространении применяемой в наст. время системы нумерации (счисления (См. Счисление)), принципа поместного (поразрядного) значения цифр и способов выполнения арифметических действий. По-видимому, аналогичными причинами объясняется и общеизвестное сходство имён числительных в различных языках: например, два - dva (санскр.), δυο (греч.), duo (лат.), two (англ.).

Источником первых достоверных сведений о состоянии арифметических знаний в эпоху древних цивилизаций являются письменные документы Др. Египта (Папирусы математические), написанные приблизительно за 2 тыс. лет до н. э. Это - сборники задач с указанием их решений, правил действий над целыми числами и дробями со вспомогательными таблицами, без каких бы то ни было пояснений теоретического характера. Решение некоторых задач в этом сборнике производится, по существу, с помощью составления и решения уравнений; встречаются также арифметические и геометрические прогрессии.

О довольно высоком уровне арифметической культуры вавилонян за 2-3 тыс. лет до н. э. позволяют судить Клинописные математические тексты . Письменная нумерация вавилонян в клинописных текстах представляет собой своеобразное соединение десятичной системы (для чисел, меньших 60) с шестидесятиричной, с разрядными единицами 60, 60 2 и т.д. Наиболее существенным показателем высокого уровня А. является употребление шестидесятиричных дробей с распространением на них той же системы нумерации, аналогично современным десятичным дробям. Техника выполнения арифметических действий у вавилонян, в теоретическом отношении аналогичная обычным приёмам в десятичной системе, осложнялась необходимостью прибегать к обширным таблицам умножения (для чисел от 1 до 59). В сохранившихся клинописных материалах, представлявших собой, по-видимому, учебные пособия, находятся, кроме того, и соответствующие таблицы обратных чисел (двузначные и трёхзначные, т. е. с точностью до 1 / 60 2 и 1 / 60 3), применявшихся при делении.

У древних греков практическая сторона А. не получила дальнейшего развития; применявшаяся ими система письменной нумерации с помощью букв алфавита была значительно менее приспособлена для производства сложных вычислений, нежели вавилонская (показательно, в частности, что древнегреческие астрономы предпочитали пользоваться шестидесятиричной системой). С другой стороны, древнегреческие математики положили начало теоретической разработке А. в части, касавшейся учения о натуральных числах, теории пропорций, измерения величин и - в неявной форме - также и теории иррациональных чисел. В «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) имеются сохранившие своё значение и до сих пор доказательство бесконечности числа простых чисел, основные теоремы о делимости, алгоритмы для нахождения общей меры двух отрезков и общего наибольшего делителя двух чисел (см. Евклида алгоритм), доказательство несуществования рационального числа, квадрат которого равен 2 (иррациональность числа √2), и изложенная в геометрической форме теория пропорций. К рассматривавшимся теоретико-числовым задачам относятся задачи о совершенных числах (См. Совершенные числа) (Евклид), о пифагоровых числах (См. Пифагоровы числа), а также - уже в более позднюю эпоху - алгоритм для выделения простых чисел (Эратосфена решето) и решение ряда неопределённых уравнений 2-й и более высоких степеней (Диофант).

Существенную роль в образовании понятия бесконечного натурального ряда чисел сыграл «Псаммит» Архимеда (3 в. до н. э.), в котором доказывается возможность именовать и обозначать сколь угодно большие числа. Сочинения Архимеда свидетельствуют о довольно высоком искусстве в получении приближённых значений искомых величин: извлечение корня из многозначных чисел, нахождение рациональных приближений для иррациональных чисел, например

Римляне не продвинули вперёд технику вычислений, оставив, однако, дошедшую до нашего времени систему нумерации (Римские цифры), мало приспособленную для производства действий и применяемую в настоящее время почти исключительно для обозначения порядковых чисел.

Трудно проследить преемственность в развитии математики в отношении предыдущих, более древних, культур; однако чрезвычайно важные этапы в развитии А. связываются с культурой Индии, оказавшей влияние как на страны Передней Азии и Европы, так и на страны Вост. Азии (Китай, Япония). Помимо применения алгебры к решению задач арифметического содержания, наиболее существенная заслуга индийцев - введение позиционной системы счисления (с применением десяти цифр, включая нуль для обозначения отсутствия единиц в каком-либо из разрядов), сделавшей возможной разработку сравнительно простых правил выполнения основных арифметических действий.

Учёные средневекового Востока не только сохранили в переводах наследие древнегреческих математиков, но и содействовали распространению и дальнейшему развитию достижений индийцев. Методы выполнения арифметических действий, в значительной части ещё далёкие от современных, но уже использующие преимущества позиционной системы счисления, с 10 в. н. э. стали постепенно проникать в Европу, раньше всего в Италию и Испанию.

Сравнительно медленный прогресс А. в средние века сменяется к началу 17 в. быстрым усовершенствованием приёмов вычисления в связи с возросшими практическими запросами к технике вычислений (задачи мореходной астрономии, механики, усложнившиеся коммерческие расчёты и т.п.). Дроби со знаменателем 10, употреблявшиеся ещё индийцами (при извлечении квадратных корней) и неоднократно обращавшие на себя внимание и европейских учёных, применялись сначала в неявной форме в тригонометрических таблицах (в форме целых чисел, выражающих длины линий синуса, тангенса и т.д. при радиусе, принятом за 10 5). Впервые (1427) подробно описал систему десятичных дробей и правила действий над ними аль-Каши . Запись десятичных дробей, по существу совпадающая с современной, встречается в сочинениях С. Стевин а в 1585 и с этого времени получает повсеместное распространение. К той же эпохе относится изобретение логарифмов в начале 17 в. Дж. Непер ом. В начале 18 в. приёмы выполнения и записи вычислений приобретают современную форму.

В России до начала 17 в. применялась нумерация, сходная с греческой; хорошо и своеобразно была разработана система устной нумерации, доходившая до 50-го разряда. Из русских арифметических руководств начала 18 в. наибольшее значение имела высоко оцененная М. В. Ломоносовым «Арифметика» Л. Ф. Магницкого (См. Магницкий) (1703). В ней содержится следующее определение А.: «Арифметика или числительница, есть художество честное, независтное, и всем удобопонятное, многополезнейшее, и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков, изобретенное, и изложенное». Наряду с вопросами нумерации, изложением техники вычисления с целыми числами и дробями (в т. ч. и десятичными) и соответствующими задачами в этом руководстве содержатся и элементы алгебры, геометрии и тригонометрии, а также ряд практических сведений, относящихся к коммерческим расчётам и задачам навигации. Изложение А. приобретает уже более или менее современный вид у Л. Эйлер а и его учеников.

Теоретические вопросы арифметики. Теоретическая разработка вопросов, касающихся учения о числе и учения об измерении величин, не может быть оторвана от развития математики в целом: решающие этапы её связаны с моментами, определявшими в равной мере и развитие алгебры, геометрии и анализа. Наиболее важным надо считать создание общего учения о Величина х, соответствующего абстрактного учения о числе (См. Число) (целом, рациональном и иррациональном) и буквенного аппарата алгебры.

Фундаментальное значение А. как науки, достаточной для изучения непрерывных величин различного рода, было осознано лишь к концу 17 в. в связи со включением в А. понятия иррационального числа, определяемого последовательностью рациональных приближений. Немаловажную роль при этом сыграли аппарат десятичных дробей и применение логарифмов, расширивших область осуществляемых с требуемой точностью операций над действительными числами (иррациональными наравне с рациональными).

Построение Грасмана было завершено в дальнейшем работами Дж. Пеано , в которых отчётливо выделена система основных (не определяемых через другие понятия) понятий, именно: понятие натурального числа, понятие следования одного числа непосредственно за другим в натуральном ряде и понятие начального члена натурального ряда (за который можно принять 0 или 1). Эти понятия связаны между собой пятью аксиомами, которые можно рассматривать как аксиоматическое определение указанных основных понятий.

Аксиомы Пеано: 1) 1 есть натуральное число; 2) следующее за натуральным числом есть натуральное число; 3) 1 не следует ни за каким натуральным числом; 4) если натуральное число а следует за натуральным числом b и за натуральным числом с , то b и с тождественны; 5) если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n , вытекает, что оно верно для следующего за п натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел. Эта аксиома - аксиома полной индукции - даёт возможность в дальнейшем пользоваться грасмановскими определениями действий и доказывать общие свойства натуральных чисел.

Эти построения, дающие решение задачи обоснования формальных положений А., оставляют в стороне вопрос о логической структуре А. натуральных чисел в более широком смысле слова, с включением тех операций, которые определяют собой приложения А. как в рамках самой математики, так и в практической жизни. Анализ этой стороны вопроса, выяснив содержание понятия количественного числа, вместе с тем показал, что вопрос об обосновании А. тесно связан с более общими принципиальными проблемами методологического анализа математических дисциплин. Если простейшие предложения А., относящиеся к элементарному счёту объектов и являющиеся обобщением многовекового опыта человечества, естественно укладываются в простейшие логической схемы, то А. как математическая дисциплина, изучающая бесконечную совокупность натуральных чисел, требует исследования непротиворечивости соответствующей системы аксиом и более детального анализа смысла вытекающих из неё общих предложений.

Лит.: Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем. т. 3 изд., т. 1, М.-Л., 1935; Арнольд И. В., Теоретическая арифметика, 2 изд., М., 1939; Беллюстин В. К., Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики, М., 1940; Гребенча М. К., Арифметика, 2 изд., М., 1952; Берман Г. Н., Число и наука о ней, 3 изд., М., 1960; Дептяан И. Я., История арифметики, 2 изд., М., 1965; Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в Древнем мире, 2 изд., М., 1967.

И. В. Арнольд.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Арифметика" в других словарях:

- (от греч. arithmos число, и toche искусство). Наука, имеющая своим предметом числа. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АРИФМЕТИКА от греч. arithmos, число, и techne, искусство. Наука о числах.… … Словарь иностранных слов русского языка

Что такое "арифметика"? Как правильно пишется данное слово. Понятие и трактовка.

арифметика искусство вычислений, производимых с положительными действительными числами. Краткая история арифметики. С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была связана с техникой счета. Под "арифметикой" во многих странах обычно имеется ввиду именно эта последняя область, которая несомненно является старейшей отраслью математики. По-видимому, наибольшую трудность у древних вычислителей вызывала работа с дробями. Об этом можно судить по папирусу Ахмеса (называемому также папирусом Ринда), древнеегипетскому сочинению по математике, датируемому примерно 1650 до н.э. Все дроби, упоминаемые в папирусе, за исключением 2/3, имеют числители, равные 1. Трудность обращения с дробями заметна и при изучении древневавилонских клинописных табличек. И древние египтяне, и вавилоняне, по-видимому, производили вычисления с помощью некоторой разновидности абака. Наука о числах получила у древних греков существенное развитие начиная с Пифагора, около 530 до н.э. Что же касается непосредственно техники вычисления, то в этой области греками было сделано гораздо меньше. Жившие позднее римляне, напротив, практически не внесли никакого вклада в науку о числе, зато исходя из нужд быстро развивавшихся производства и торговли усовершенствовали абак как счетное устройство. О зарождении индийской арифметики известно очень мало. До нас дошли лишь некоторые более поздние работы о теории и практике операций с числами, написанные уже после того, как индийская позиционная система была усовершенствована посредством включения в нее нуля. Когда в точности это произошло, нам достоверно неизвестно, но именно тогда были заложены основы для наших наиболее распространенных арифметических алгоритмов (см. также ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ). Индийская система счисления и первые арифметические алгоритмы были заимствованы арабами. Самый ранний из дошедших до нас арабских учебников арифметики был написан аль-Хорезми около 825. В нем широко используются и объясняются индийские цифры. Позднее этот учебник был переведен на латынь и оказал значительное влияние на Западную Европу. Искаженный вариант имени аль-Хорезми дошел до нас в слове "алгоризм", которое при дальнейшем смешении с греческим словом аритмос превратилось в термин "алгоритм". Индо-арабская арифметика стала известна в Западной Европе в основном благодаря сочинению Л.Фибоначчи Книга абака (Liber abaci, 1202). Метод абацистов предлагал упрощения, подобные использованию нашей позиционной системы, во всяком случае для сложения и умножения. Абацистов сменили алгоритмики, которые использовали нуль и арабский метод деления и извлечения квадратного корня. Один из первых учебников арифметики, автор которого нам неизвестен, вышел в Тревизо (Италия) в 1478. В нем речь шла о расчетах при совершении торговых сделок. Этот учебник стал предшественником многих появившихся впоследствии учебников арифметики. До начала 17 в. в Европе было опубликовано более трехсот таких учебников. Арифметические алгоритмы за это время были существенно усовершенствованы. В 16-17 вв. появились символы арифметических операций, такие как =, +, -, *, "корень" и /. Принято считать, что десятичные дроби изобрел в 1585 С.Стевин, логарифмы - Дж. Непер в 1614, логарифмическую линейку - У. Оутред в 1622. Современные аналоговые и цифровые вычислительные устройства были изобретены в середине 20 в. См. также МАТЕМАТИКА; МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ; ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ; РЯДЫ. Механизация арифметических вычислений. С развитием общества росла и потребность в более быстрых и точных вычислениях. Эта потребность вызвала к жизни четыре замечательных изобретения: индо-арабские числовые обозначения, десятичные дроби, логарифмы и современные вычислительные машины. На самом деле простейшие счетные устройства существовали до появления современной арифметики, ибо в древности элементарные арифметические операции производились на абаке (в России с этой целью использовались счеты). Простейшим современным вычислительным устройством можно считать логарифмическую линейку, представляющую собой две скользящие одна вдоль другой логарифмические шкалы, что позволяет производить умножение и деление, суммируя и вычитая отрезки шкал. Изобретателем первой механической суммирующей машины принято считать Б.Паскаля (1642). Позднее в том же столетии Г. Лейбниц (1671) в Германии и С. Морленд (1673) в Англии изобрели машины для выполнения умножения. Эти машины стали предшественницами настольных вычислительных устройств (арифмометров) 20 в., позволявших быстро и точно производить операции сложения, вычитания, умножения и деления. В 1812 английский математик Ч. Бэббидж приступил к созданию проекта машины для вычисления математических таблиц. Хотя работа над проектом продолжалась долгие годы, она так и осталась незавершенной. Тем не менее проект Бэббиджа послужил стимулом к созданию современных электронных вычислительных машин, первые образцы которых появились около 1944. Быстродействие этих машин поражало воображение: с их помощью за минуты или часы удавалось решить задачи, ранее требовавшие многих лет непрерывных вычислений даже с применением арифмометров. Суть дела можно пояснить на примере конкретной арифметической задачи, например, вычисления числа p (отношения длины окружности к ее диаметру). Первые систематические попытки вычисления p встречаются у Архимеда (ок. 240 до н.э.). Используя весьма несовершенную систему счисления, он после долгих трудов сумел вычислить p с точностью, эквивалентной в нашей современной системе счисления двум знакам после запятой. Используя метод Архимеда, Л.ван Цейлен (1540-1610), посвятив этому значительную часть жизни, сумел вычислить p с точностью 35 знаков после запятой. В 1873 после пятнадцати лет работы У.Шенкс получил значение p с 707 знаками, но позднее выяснилось, что начиная с 528-го знака в его вычисления вкрались ошибки. В 1958 компьютер фирмы ИБМ вычислил за 40 секунд 707 знаков числа p и, продолжая далее вычисления, получил за 100 минут 10000 знаков. См. также КОМПЬЮТЕР; ЧИСЛО ПИ. Целые положительные числа. Основой наших представлений о числах являются интуитивные понятия множества, соответствия между множествами и бесконечной последовательности различимых знаков или звуков. Знакомая всем нам последовательность символов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... есть не что иное, как бесконечная последовательность различимых знаков и бесконечная последовательность различимых звуков (или слов) "один", "два", "три", "четыре", "пять", "шесть", "семь", "восемь", "девять", "десять", "одиннадцать", "двенадцать", ..., соответствующих определенным символам. Любое множество, все элементы которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие с элементами некоторого начального сегмента нашей бесконечной последовательности символов, называется конечным множеством. При этом на число элементов множества указывает последний символ сегмента. Например, множество предметов, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие с начальным сегментом 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, является конечным множеством, содержащим 8 ("восемь") элементов. Символ 8 указывает на "число" предметов в исходном множестве. Это число есть символ, или ярлык, приписываемый данному множеству. Этот же ярлык приписывается всем тем и только тем множествам, которые могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с данным множеством. Однозначное определение ярлыка для любого заданного конечного множества называется "пересчитыванием" элементов данного множества, а сами ярлыки получили название натуральных или целых положительных чисел (см. также ЧИСЛО; МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ). Пусть A и B - два конечных множества, не имеющие общих элементов, и пусть A содержит n элементов, а B содержит m элементов. Тогда множество S, состоящее из всех элементов множеств A и B, взятых вместе, является конечным множеством, содержащим, скажем, s элементов. Например, если А состоит из элементов {a, b, c}, множество В - из элементов {x, y}, то множество S = A + B и состоит из элементов {a, b, c, x, y}. Число s называется суммой чисел n и m, и мы записываем это так: s = n + m. В этой записи числа n и m называются слагаемыми, операция нахождения суммы - сложением. Символ операции "+" читается как "плюс". Множество P, состоящее из всех упорядоченных пар, в которых первый элемент выбран из множества A, а второй - из множества B, является конечным множеством, содержащим, скажем, p элементов. Например, если, как и прежде, A = {a, b, c}, B = {x, y}, то P = AґB = {(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)}. Число p называется произведением чисел a и b, и мы записываем это так: p = a*b или p = a*b. Числа a и b в произведении называются множителями, операция нахождения произведения - умножением. Символ операции ґ читается как "умноженное на". Можно показать, что из этих определений следуют приводимые ниже фундаментальные законы сложения и умножения целых чисел: - закон коммутативности сложения: a + b = b + a; - закон ассоциативности сложения: a + (b + c) = (a + b) + c; - закон коммутативности умножения: a*b = b*a; - закон ассоциативности умножения: a*(b*c) = (a*b)*c; - закон дистрибутивности: aґ(b + c)= (a*b) + (a*c). Если a и b - два положительных целых числа и если существует положительное целое число c, такое, что a = b + c, то мы говорим, что a больше b (это записывается так: a > b), или что b меньше a (это записывается так: b b, либо a

• Арифме́тика (др.-греч. ἀριθμητική; от ἀριθμός - число) - раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа в развитии представлений о нём (натуральные, целые и рациональные, действительные, комплексные числа) и его свойствах. В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая арифметика уделяет внимание определению и анализу понятия числа, в то время как формальная арифметика оперирует логическими построениями предикатов и аксиом. Арифметика является древнейшей и одной из основных математических наук; она тесно связана с алгеброй, геометрией и теорией чисел.

  Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте, и вычислениях, связанных с задачами учёта при централизации сельского хозяйства. Наука развивалась вместе с усложнением задач, требующих решения. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности философы-пифагорейцы, пытавшиеся с помощью чисел постичь и описать все закономерности мира.

  В Средние века арифметику относили, вслед за неоплатониками, к числу так называемых семи свободных искусств. Основными областями практического применения арифметики тогда были торговля, навигация, строительство. В связи с этим особое значение получили приближённые вычисления иррациональных чисел, необходимые в первую очередь для геометрических построений. Особенно бурно арифметика развивалась в Индии и странах ислама, откуда новейшие достижения математической мысли проникли в Западную Европу; Россия знакомилась с математическими знаниями «и от греков, и от латин».

  С наступлением Нового времени мореходная астрономия, механика, усложнившиеся коммерческие расчёты поставили новые запросы к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию арифметики. В начале XVII века Непер изобрёл логарифмы, а затем Ферма выделил теорию чисел в самостоятельный раздел арифметики. К концу века сформировалось представление об иррациональном числе как о последовательности рациональных приближений, а в течение следующего столетия благодаря трудам Ламберта, Эйлера, Гаусса арифметика включила в себя операции с комплексными величинами, приобретя современный вид.

  Последующая история арифметики ознаменована критическим пересмотром её основ, попытками дедуктивного её обоснования. Теоретические обоснования представления о числе связаны в первую очередь со строгим определением натурального числа и аксиомами Пеано, сформулированными в 1889 году. Непротиворечивость формального построения арифметики была показана Генценом в 1936 году.

  Основам арифметики издавна и неизменно уделяется большое внимание в начальном школьном образовании.

Что такое арифметика? Когда человечество начало использовать числа и работать с ними? Куда уходят корни таких обыденных понятий, как числа, сложение и умножение, которые человек сделал неотделимой частью своей жизни и мировоззрения? Древнегреческие умы восхищались такими науками, как и геометрия, как прекраснейшими симфониями человеческой логики.

Возможно, арифметика не так глубока, как другие науки, но что было бы с ними, забудь человек элементарную таблицу умножения? Привычное нам логическое мышление, использующие цифры, дроби и другие инструменты, нелегко давалось людям и долгое время было недоступно для наших предков. Фактически до развития арифметики ни одна область человеческого знания не была по-настоящему научной.

Арифметика - это азбука математики

Арифметика - это наука о числах, с которой любой человек начинает знакомство с увлекательным миром математики. Как говорил М. В. Ломоносов, арифметика - это врата учености, открывающие нам путь к миропознанию. А ведь он прав, разве познание мира можно отделить от знания цифр и букв, математики и речи? Возможно, в былые времена, но не в современном мире, где бурное развитие науки и техники диктует свои законы.

Слово "арифметика" (греч. "арифмос") греческого происхождения, обозначает "число". Она изучает число и все что может быть с ними связано. Это мир чисел: различные действия над числами, числовые правила, решение задач, которые связаны с умножением, вычитанием и т. д.

Основной объект арифметики

Основа арифметики - это целое число, свойства и закономерности которого рассматриваются в высшей арифметике или По сути, от того, насколько верный подход взят в рассмотрении такого небольшого блока, как натуральное число, зависит прочность всего здания - математики.

Поэтому на вопрос о том, что такое арифметика, можно ответить просто: это наука о числах. Да, о привычной семерке, девятке и всем этом разнообразном сообществе. И подобно тому, как и хороших, и самых посредственных стихов не напишешь без элементарной азбуки, без арифметики не решить даже элементарной задачи. Вот почему все науки продвинулись только после развития арифметики и математики, будучи до этого всего лишь набором предположений.

Арифметика - наука-фантом

Что такое арифметика - натуральная наука или фантом? На самом деле, как рассуждали древнегреческие философы, ни чисел, ни фигур в реальности не существует. Это всего лишь фантом, который создается в человеческом мышлении при рассматривании окружающей среды с ее процессами. В самом деле, Нигде вокруг мы не видим ничего подобного, что можно было бы назвать числом, скорее, число - это способ человеческого разума изучать мир. А может быть, это изучение нас самих изнутри? Об этом спорят философы много веков подряд, поэтому дать исчерпывающий ответ мы не беремся. Так или иначе, арифметике удалось настолько прочно занять свои позиции, что в современном мире никто не может считаться социально адаптированным без знания ее основ.

Как появилось натуральное число

Конечно, основной объект, которым оперирует арифметика, - натуральное число, такое, как 1, 2, 3, 4, …, 152... и т.д. Арифметика натуральных чисел является результатом счета обычных предметов, например, коров на лугу. Все-таки определение "много" или "мало" когда-то перестало устраивать людей, и пришлось изобретать более совершенные техники счета.

Но настоящий прорыв случился, когда человеческая мысль дошла до того, что можно одним и тем же числом «два» обозначить и 2 килограмма, и 2 кирпича, и 2 детали. Дело в том, что нужно абстрагироваться от форм, свойств и смысла предметов, тогда можно производить некоторые действия с этими предметами в виде натуральных чисел. Так родилась арифметика чисел, которая дальше развивалась и ширилась, занимая все большие позиции в жизни общества.

Такие углубленные понятия числа, как ноль и отрицательное число, дроби, обозначения чисел цифрами и другими способами, имеют богатейшую и интереснейшую историю развития.

Арифметика и практичные египтяне

Два древнейших спутника человека в исследовании окружающего мира и решении бытовых задач - это арифметика и геометрия.

Считается, что история арифметики берет свое начало на Древнем Востоке: в Индии, Египте, Вавилоне и Китае. Так, папирус Ринда египетского происхождения (назван так, поскольку принадлежал одноименному владельцу), датируемый XX в. до н.э, кроме других ценных данных содержит разложение одной дроби на сумму дробей с разными знаменателями и числителем, равным единице.

Например: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.

Но в чем смысл такого сложного разложения? Дело в том, что египетский подход не терпел абстрагированных размышлений о числах, наоборот, вычисления производились только с практической целью. То есть египтянин станет заниматься таким делом, как расчеты, исключительно для того, чтобы построить гробницу, например. Нужно было высчитать длину ребра сооружения, и это заставляло садиться человека за папирус. Как видно, египетский прогресс в расчетах был вызван, скорее массовым, строительством, нежели любовью к науке.

По этой причине расчеты, найденные на папирусах, нельзя назвать размышлениями на тему дробей. Скорее всего, это практическая заготовка, которая помогала в дальнейшем решать задачи с дробями. Древние египтяне, не знавшие таблицы умножения, производили довольно длинные вычисления, разложенные на множество подзадач. Возможно, это одна из таковых подзадач. Нетрудно заметить, что расчеты с такими заготовками весьма трудоемки и малоперспективны. Может быть, по этой причине мы не видим большого вклада Древнего Египта в развитие математики.

Древняя Греция и философская арифметика

Многие знания Древнего Востока были успешно освоены древними греками, известными любителями отвлеченных, абстрактных и философских размышлений. Практика их интересовала не меньше, но лучших теоретиков и мыслителей найти сложно. Это пошло на пользу науке, поскольку в арифметику невозможно углубиться, не разорвав ее с реальностью. Конечно, можно умножать 10 коров и 100 литров молока, но далеко продвинуться не удастся.

Мыслящие глубоко греки оставили значительный след в истории, и их труды дошли до нас:

• Евклид и «Начала».
• Пифагор.
• Архимед.
• Эратосфен.
• Зенон.
• Анаксагор.

И, конечно, превращающие все в философию греки, а особенно продолжатели дела Пифагора, настолько были увлечены числами, что считали их таинством гармонии мира. Числа настолько были изучены и исследованы, что некоторым из них и их парам приписывали особые свойства. Например:

• Совершенные числа - те, которые равны сумме всех своих делителей, кроме самого числа (6=1+2+3).
• Дружественные числа - это такие числа, одно из которых равно сумме всех делителей второго, и наоборот (пифагорейцы знали только одну такую пару: 220 и 284).

Греки, считавшие, что науку нужно любить, а не быть с ней ради выгоды, достигли больших успехов, исследуя, играя и складывая числа. Нужно отметить, что не все их изыскания нашли широкое применение, некоторые из них остались лишь "для красоты".

Восточные мыслители Средневековья

Точно так же и в Средние века арифметика своим развитием обязана восточным современникам. Индийцы передали нам цифры, которые мы активно используем, такое понятие как "нуль", и позиционный вариант привычный современному восприятию. От Аль-каши, который в 15 веке работал в Самарканде, мы унаследовали без которых трудно представить современную арифметику.

Во многом знакомство Европы с достижениями Востока стало возможно благодаря труду итальянского ученого Леонардо Фибоначчи, который написал произведение "Книга абака", знакомящее с восточными новшествами. Оно стало краеугольным камнем развития алгебры и арифметики, исследовательской и научной деятельности в Европе.

Российская арифметика

И, наконец, арифметика, нашедшая свое место и укоренившаяся в Европе, стала распространяться и на русские земли. Первая русская арифметика вышла в 1703 году - это была книга об арифметике Леонтия Магницкого. Долгое время она оставалась единственным учебным руководством по математике. Она содержит начальные моменты алгебры и геометрии. Цифры, которые использовал в примерах первый в России учебник арифметики, арабские. Хотя арабские цифры встречались и ранее, на гравюрах, датирующихся 17 веком.

Сама книга украшена изображениями Архимеда и Пифагора, а на первом листе - образ арифметики в виде женщины. Она сидит на престоле, под ней написано на иврите слово, обозначающее имя Бога, а на ступенях, которые ведут к престолу, начертаны слова «деление», «умножение», «сложение» и т. д. Можно только представить, какое значение предавали таким истинам, которые сейчас считаются обыденным явлением.

Учебник из 600 страниц описывает как основы вроде таблицы сложения и умножения, так и приложения к навигационным наукам.

Не удивительно, что автор выбрал изображения греческих мыслителей для своей книги, ведь он и сам был пленен красотой арифметики, говоря: «Арифметика есть числительница, есть художество честное, независтное… ». Такой подход к арифметике вполне обоснован, ведь именно ее повсеместное внедрение можно считать началом бурного развития научной мысли в России и общего образования.

Непростые простые числа

Простое число - это такое натуральное число, которое имеет только 2 положительных делителя: 1 и само себя. Все остальные числа, не считая 1, называют составными. Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, и все другие, которые не имеют прочих делителей, кроме числа 1 и себя самого.

Что же касается числа 1, то оно на особом счету - существует уговор, что его нужно считать ни простым, ни составным. Простое на первый взгляд простое число таит множество неразгаданных тайн внутри себя.

Теорема Евклида говорит, что простых чисел бесконечное множество, а Эратосфен придумал специальное арифметическое «решето», которое отсеивает непростые числа, оставляя только простые.

Ее суть в том чтобы подчеркивать первое невычеркнутое число, а в последующем вычеркивать те, которые ему кратны. Многократно повторяем эту процедуру - и получаем таблицу простых чисел.

Основная теорема арифметики

Среди наблюдений о простых числах нужно особым образом упомянуть основную теорему арифметики.

Основная теорема арифметики гласит, что любое целое число, большее 1, либо является простым, либо его можно разложить на произведение простых чисел с точностью до порядка следования сомножителей, причем единственным образом.

Основная теорема арифметики доказывается достаточно громоздко, да и понимание ее уже не похоже на простейшие основы.

На первый взгляд простые числа - элементарное понятие, однако это не так. Физика также некогда считала атом элементарным, пока не нашла внутри него целую вселенную. Простым числам посвящен прекрасный рассказ математика Дона Цагира «Первые пятьдесят миллионов простых чисел».

От «трех яблочек» до дедуктивных законов

Что поистине можно назвать армированным фундаментом всей науки - это законы арифметики. Еще в детстве все сталкиваются с арифметикой, изучая количество ножек и ручек у кукол, количество кубиков, яблочек и т. д. Так мы изучаем арифметику, которая дальше переходит в более сложные правила.

Вся наша жизнь знакомит нас с правилами арифметики, которые стали для простого человека наиболее полезными из всего, что дает наука. Изучение чисел - это "арифметика-малышка", которая знакомит человека с миром чисел в виде цифр еще в раннем детстве.

Высшая арифметика - дедуктивная наука, которая изучает законы арифметики. Большинство из них нам известно, хотя, возможно, мы и не знаем их точных формулировок.

Закон сложения и умножения

Два любых натуральных числа a и b могут быть выражены в виде суммы a+b, которая также будет числом натуральным. Касательно сложения действуют следующие законы:

• Коммутативный , который говорит, что от перестановки слагаемых местами сумма не изменяется, или a+b= b+a.
• Ассоциативный , который говорит, что сумма не зависит от способа группировки слагаемых местами, или a+(b+c)= (a+ b)+ c.

Правила арифметики, такие, как сложение, - одни из элементарных, но их используют все науки, не говоря уже о повседневной жизни.

Два любых натуральных числа a и b могут быть выражены в произведении a*b или a*b, которое также является числом натуральным. К произведению применимы те же коммутативные и ассоциативные законы, что и к сложению:

• a*b= b* a;
• a*(b*c)= (a* b)* c.

Интересно, что существует закон, который объединяет сложение и умножение, называемый также распределительным, или дистрибутивным законом:

a(b+c)= ab+ac

Этот закон фактически учит нас работать со скобками, раскрывая их, тем самым мы можем работать уже с более сложными формулами. Это именно те законы, которые будут вести нас по причудливому и непростому миру алгебры.

Закон арифметического порядка

Закон порядка человеческая логика использует каждый день, сверяя часы и считая купюры. И, тем не менее, и его нужно оформить в виде конкретных формулировок.

Если мы имеем два натуральных числа a и b, то возможны следующие варианты:

• a равно b, или a=b;
• a меньше b, или a < b;
• a больше b, или a > b.

Из трех вариантов справедливым может быть только один. Основной закон, который управляет порядком, говорит: если a < b и b < c, то a< c.

Существуют также и законы, связывающие порядок с действиями умножения и сложения: если a< b, то a + c < b+c и ac< bc.

Законы арифметики учат нас работать с числами, знаками и скобками, превращая все в стройную симфонию чисел.

Позиционные и непозиционные системы исчисления

Можно сказать, что числа - это математический язык, от удобства которого зависит многое. Существует множество систем исчисления, которые, как и алфавиты разных языков, отличаются между собой.

Рассмотрим системы счисления с точки зрения влияния позиции на количественное значение цифры на этой позиции. Так, например, римская система является непозиционной, где каждое число кодируется определенным набором специальных символов: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Они равны, соответственно, числам 1/ 5/10/50/100/500/1000. В такой системе цифра не изменяет своего количественного определения в зависимости от того, на какой она стоит позиции: первой, второй и т. д. Чтобы получить другие числа, нужно сложить базовые. Например:

• DCC=700.
• CCM=800.

Более привычная для нас система счисления с использованием арабских цифр является позиционной. В такой системе разряд числа определяет количество цифр, например, трехразрядные числа: 333, 567 и т.д. Вес любого разряда зависит от позиции, на которой находится та или иная цифра, например цифра 8 на второй позиции имеет значение 80. Это характерно для десятичной системы, существуют и другие позиционные системы, например двоичная.

Двоичная арифметика

Двоичная арифметика работает с двоичным алфавитом, который состоит всего из 0 и 1. А использование этого алфавита называется двоичной системой исчисления.

Отличие двоичной арифметики от десятичной в том, что значимость позиции слева больше не в 10, а в 2 раза. Двоичные числа имеют вид 111, 1001 и т. д. Как понимать такие числа? Итак, рассмотрим число 1100:

1. Первая цифра слева - 1*8=8, помня о том, что четвертая цифра, а значит, ее нужно умножить на 2, получаем позицию 8.
2. Вторая цифра 1*4=4 (позиция 4).
3. Третья цифра 0*2=0 (позиция 2).
4. Четвертая цифра 0*1=0 (позиция 1).
5. Итак, наше число 1100=8+4+0+0=12.

То есть при переходе на новый разряд слева его значимость в двоичной системе умножается на 2, а в десятичной - на 10. Такая система имеет один минус: это слишком большой рост разрядов, которые необходимы для записи чисел. Примеры представления десятичных чисел в виде двочиных можно посмотреть в следующей таблице.

Десятичные числа в двоичном виде изображены ниже.

Используются также и восьмеричная, и шестнадцатеричная системы исчисления.

Эта загадочная арифметика

Что такое арифметика, «дважды два» или неизведанные тайны чисел?Как видим, арифметика, может, и кажется на первый взгляд простой, но ее неочевидная легкость обманчива. Ее можно изучать и детям вместе с тетушкой Совой из мультика «Арифметика-малышка», а можно погрузиться в глубоко научные изыскания чуть ли не философского порядка. В истории она прошла путь от счета предметов до поклонения красоте чисел. Одно только точно известно: с установлением основных постулатов арифметики вся наука может опираться на ее крепкое плечо.

С арифметики, науки о числе, начинается наше знакомство с математикой. Один из первых русских учебников арифметики, написанный Л. Ф. Магницким в 1703 г., начинался словами: «Арифметика или числительница, есть художество честное, независтное, и всем удобнопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков, изобретенное и изложенное». С арифметикой мы входим, как говорил М. В. Ломоносов, во «врата учености» и начинаем наш долгий и нелегкий, но увлекательный путь познания мира.

Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что значит «число». Эта наука изучает действия над числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел. Часто представляют себе арифметику как некоторую первую ступень математики, основываясь на которой можно изучать более сложные ее разделы – алгебру, анализ математический и т.д. Даже целые числа – основной объект арифметики – относят, когда рассматривают их общие свойства и закономерности, к высшей арифметике, или теории чисел. Такой взгляд на арифметику, конечно, имеет основания – она действительно остается «азбукой счета», но азбукой «многополезнейшей» и «удобнопонятной».

Арифметика и геометрия – давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять земельные участки, делить добычу, вести счет времени.

Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Например, египетский папирус Ринда (названный по имени его владельца Г. Ринда) относится к XX в. до н.э. Среди прочих сведений он содержит разложения дроби на сумму дробей с числителем, равным единице, например:

Накопленные в странах Древнего Востока сокровища математических знаний были развиты и продолжены учеными Древней Греции. Много имен ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире, сохранила нам история - Анаксагор и Зенон, Евклид (см. Евклид и его «Начала»), Архимед, Эратосфен и Диофант. Яркой звездой сверкает здесь имя Пифагора (VI в. до н.э.). Пифагорейцы (ученики и последователи Пифагора) преклонялись перед числами, считая, что в них заключена вся гармония мира. Отдельным числам и парам чисел приписывались особые свойства. В большом почете были числа 7 и 36, тогда же было обращено внимание на так называемые совершенные числа, дружественные числа и т. п.

В средние века развитие арифметики также связано с Востоком: Индией, странами арабского мира и Средней Азии. От индийцев пришли к нам цифры, которыми мы пользуемся, нуль и позиционная система счисления; от аль-Каши (XV в.), работавшего в Самаркандской обсерватории Улугбека, - десятичные дроби.

Благодаря развитию торговли и влиянию восточной культуры начиная с XIII в. повышается интерес к арифметике и в Европе. Следует вспомнить имя итальянского ученого Леонардо Пизанского (Фибоначчи), сочинение которого «Книга абака» знакомило европейцев с основными достижениями математики Востока и явилось началом многих исследований в арифметике и алгебре.

Вместе с изобретением книгопечатания (середина XV в.) появились первые печатные математические книги. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 г. В «Полной арифметике» немецкого математика М. Штифеля (начало XVI в.) уже есть отрицательные числа и даже идея логарифмирования.

Примерно с XVI в. развитие чисто арифметических вопросов влилось в русло алгебры – в качестве значительной вехи можно отметить появление работ ученого из Франции Ф. Виета, в которых числа обозначены буквами. Начиная с этого времени основные арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций алгебры.

Основной объект арифметики – число. Натуральные числа, т.е. числа 1, 2, 3, 4, ... и т.д., возникли из счета конкретных предметов. Прошло много тысячелетий, прежде чем человек усвоил, что два фазана, две руки, два человека и т.д. можно назвать одним и тем же словом «два». Важная задача арифметики – научиться преодолевать конкретный смысл названий считаемых предметов, отвлекаться от их формы, размера, цвета и т. п. Уже у Фибоначчи есть задача: «Семь старух идут в Рим. У каждой по 7 мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в 7 ножнах. Сколько всех?» Для решения задачи придется складывать вместе и старух, и мулов, и мешки, и хлеба.

Развитие понятия числа – появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записи чисел (цифры, обозначения, системы счисления) – все это имеет богатую и интересную историю.

«Под наукой чисел понимаются две науки: практическая и теоретическая. Практическая изучает числа постольку, поскольку речь идет о числах считаемых. Эту науку применяют в рыночных и гражданских делах. Теоретическая наука чисел изучает числа в абсолютном смысле, отвлеченные разумом от тел и всего, что поддается в них счету». аль-Фараби

В арифметике числа складывают, вычитают, умножают и делят. Искусство быстро и безошибочно производить эти действия над любыми числами долгое время считалось важнейшей задачей арифметики. Сейчас в уме или на листке бумаги мы делаем лишь самые простые вычисления, все чаще и чаще поручая более сложную вычислительную работу микрокалькуляторам, которые постепенно приходят на смену таким устройствам, как счеты, арифмометр (см. Вычислительная техника), логарифмическая линейка. Однако в основе работы всех вычислительных машин - простых и сложных – лежит самая простая операция – сложение натуральных чисел. Оказывается, самые сложные расчеты можно свести к сложению, только делать эту операцию надо многие миллионы раз. Но здесь мы вторгаемся в другую область математики, которая берет начало в арифметике, - вычислительную математику.

Арифметические действия над числами имеют самые различные свойства. Эти свойства можно описать словами, например: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется», можно записать буквами: , можно выразить специальными терминами.

Например, указанное свойство сложения называют переместительным или коммутативным законом. Мы применяем законы арифметики часто по привычке, не осознавая этого. Часто ученики в школе спрашивают: «Зачем учить все эти переместительные и сочетательные законы, ведь и так ясно, как складывать и умножать числа?» В XIX в. математика сделала важный шаг – она стала систематически складывать и умножать не только числа, но также векторы, функции, перемещения, таблицы чисел, матрицы и многое другое и даже просто буквы, символы, не очень заботясь об их конкретном смысле. И вот здесь оказалось, что самым важным является то, каким законам подчиняются эти операции. Изучение операций, заданных над произвольными объектами (не обязательно над числами), - это уже область алгебры, хотя эта задача основана на арифметике и ее законах.

Арифметика содержит много правил решения задач. В старых книгах можно встретить задачи на «тройное правило», на «пропорциональное деление», на «метод весов», на «фальшивое правило» и т.п. Большинство этих правил сейчас устарело, хотя задачи, которые решались с их помощью, никак нельзя считать устаревшими. Знаменитая задача про бассейн, который наполняется несколькими трубами, имеет возраст не менее двух тысяч лет, и до сих пор она не легка для школьников. Но если раньше для решения этой задачи нужно было знать специальное правило, то в наши дни уже младших школьников обучают решать такую задачу, вводя буквенное обозначение искомой величины. Таким образом, арифметические задачи привели к необходимости решать уравнения, а это уже снова задача алгебры.

Среди важных понятий, которые ввела арифметика, надо отметить пропорции и проценты. Большинство понятий и методов арифметики основано на сравнении различных зависимостей между числами. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил на протяжении многих веков.

Можно отчетливо проследить «геометризацию» арифметики: сложные правила и закономерности, выраженные формулами, становятся понятнее, если удается изобразить их геометрически. Большую роль в самой математике и ее приложениях играет обратный процесс – перевод зрительной, геометрической информации на язык чисел (см. Графические вычисления). В основе этого перевода лежит идея французского философа и математика Р. Декарта об определении точек на плоскости координатами. Разумеется, и до него эта идея уже использовалась, например в морском деле, когда нужно было определить местонахождение корабля, а также в астрономии, геодезии. Но именно от Декарта и его учеников идет последовательное применение языка координат в математике. И в наше время при управлении сложными процессами (например, полетом космического аппарата) предпочитают иметь всю информацию в виде чисел, которые и обрабатывает вычислительная машина. При необходимости машина помогает человеку перевести на язык рисунка накопленную числовую информацию.

Вы видите, что, говоря об арифметике, мы все время выходим за ее пределы - в алгебру, геометрию, другие разделы математики.

Как же очертить границы самой арифметики?

В каком смысле употребляется это слово?

Под словом «арифметика» можно понимать:

учебный предмет, занимающийся преимущественно рациональными числами (целыми числами и дробями), действиями над ними и задачами, решаемыми с помощью этих действий;

часть исторического здания математики, накопившую различные сведения о вычислениях;

«теоретическую арифметику» - часть современной математики, занимающуюся конструированием различных числовых систем (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа и их обобщения);

«формальную арифметику» - часть математической логики (см. Логика математическая), занимающуюся анализом аксиоматической теории арифметики;

«высшую арифметику», или теорию чисел, самостоятельно развивающуюся часть математики.